Трансцендентные числа

Трансцендентных чисел неизмеримо больше, чем алгебраических, то есть почти все числа трансцендентные, и если наудачу ткнуть в числовую ось, то вероятность того, что мы попадем в трансцендентное число, стремится к 100%. Несмотря на это, в повседневной жизни мы не так часто пользуемся такими числами. Вообще обычный человек (гуманитарий), как правило, знает о существовании только двух трансцендентных чисел – πи и е (правда, мало кто из гуманитариев догадывается, что эти числа трансцендентны). Гуманитарии с образованием и/или умом ниже среднего могут знать только одно из этих чисел – πи. Выдающиеся гуманитарии не знают ни одного трансцендентного числа.

По зрелом размышленье легко прийти к выводу, что трансцендентные числа можно получить следующими способами:

1.     Поделить длину окружности на ее диаметр (число πи).

2.     Найти сумму некоторого числового ряда (число е и др.).

3.     Возвести алгебраическое число, отличное от 0 и 1, в иррациональную алгебраическую степень.

4.     Взять логарифм числа, не являющегося алгебраической степенью основания этого логарифма.

5.     Найти sin, cos, tg или ctg аргумента, не являющегося произведением πи и алгебраического числа.

6.     Вычислить arcsin, arccos, arctg или arcctg любого аргумента, не являющегося соответственно синусом, косинусом, тангенсом или котангенсом алгебраического числа.

Вне всяких сомнений, существуют и иные способы.

К слову, вот еще одно восхитительное по своей красоте рассуждение:

It is unknown whether π + e, for example, is transcendental, though at least one of π + e and πe must be transcendental. More generally, for any two transcendental numbers a and b, at least one of a + b and ab must be transcendental. To see this, consider the polynomial (x − a) (x − b) = x² − (a + b)x + ab. If (a + b) and ab were both algebraic, then this would be a polynomial with algebraic coefficients. Because algebraic numbers form an algebraically closed field, this would imply that the roots of the polynomial, a and b, must be algebraic. But this is a contradiction, and thus it must be the case that at least one of the coefficients is transcendental.