Теперь я знаю, хотя и в самых общих чертах, что же такое доказал Перельман. Пресловутая гипотеза Пуанкаре звучит так: всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Что же значат все эти диковинные словеса?

Как я понял из объяснений Владимира Успенского, геометрическая фигура называется односвязной, если любой замкнутый контур, расположенный в пределах этой фигуры, можно стянуть в точку, не выходя за пределы рассматриваемой поверхности. Например, плоскость и сфера односвязны, а поверхность спасательного круга не односвязна. Понятие односвязности применимо и к трёхмерным фигурам. Так, куб и шар односвязны, а баранка – нет. Можно доказать, что трёхмерная сфера односвязна.

Геометрическая фигура называется компактной, если при любом расположении бесконечного числа её точек они накапливаются к одной из точек или ко многим точкам этой же фигуры. Компактными являются отрезок, окружность, сфера, поверхности баранки и кренделя, шар (вместе со своей сферой), баранка и крендель (вместе со своими корочками). Напротив, интервал, плоскость, ошкуренные шар, баранка и крендель не являются компактными. Среди трёхмерных компактных геометрических фигур без края простейшей является трёхмерная сфера.

Интервал и отрезок являются простейшими примерами одномерных многообразий, причём интервал есть многообразие без края, а отрезок — многообразие с краем. Ещё примеры одномерных многообразий без края: вся прямая линия целиком, окружность. Примером одномерной фигуры, не являющейся многообразием, может служить линия в форме буквы T: здесь есть особая точка, окрестность которой не похожа на окрестности других точек – это точка, где сходятся три отрезка. Другой пример одномерного не-многообразия – линия в форме восьмёрки; в особой точке здесь сходятся четыре линии. Плоскость, сфера, поверхность спасательного круга служат примерами двумерных многообразий без края. Всё пространство в целом, если понимать его так, как оно понимается в средней школе, есть трёхмерное многообразие без края.

Две фигуры называются гомеоморфными, если одну можно превратить в другую путём непрерывной (т. е. без разрывов и склеиваний) деформации. Шар гомеоморфен кубу и пирамиде, но не гомеоморфен ни тору, ни кренделю, а последние два тела не гомеоморфны между собой.

Трёхмерная сфера состоит из всех точек четырёхмерного пространства, равноудалённых от своего центра, сфере не принадлежащего (обычная сфера – двумерна).

Формулировка в целом означает, что если наша Вселенная обладает всеми свойствами односвязного компактного трёхмерного многообразия без края, то она – в известном смысле – и есть трёхмерная сфера.

Более подробно см. тут.